Question

光澤圣農公司生產一種產品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產100件這樣的產品，還需增加投入0.25萬元，經市場調查知這種產品年需求量為500件，產品銷售數量為t件時，銷售所得的收入為（0.05t-

1

20000

t2）萬元．
（1）該公司這種產品的年生產量為x件，生產并銷售這種產品所得到的利潤關于當年產量x的函數為f（x），求f（x）；
（2）當該公司的年產量為多少件時，當年所獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據銷售這種產品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數關系即可；
（2）利用配方法，求得二次函數f（x）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5在x=475時取得最大值，即獲得的利潤最大．

解答：解：（1）由題意可知，公司生產并銷售x件產品的銷售收入為（0.05x-

1

20000

x2）萬元，
投入固定成本0.5萬元，另需增加投入

x

100

×0.25萬元．
∴f（x）=0.05x-

1

20000

x2-（0.5+

x

100

×0.25）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5，（0＜x≤500）；
（2）由f（x）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5=-

1

20000

(x-475)2+10.78125．
∴當x=475時，f（x）_max=10.78125．
∴當年產量為475（件）時，當年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元．

點評：本題考查了函數模型的性質與運用，考查了簡單的建模思想方法，訓練里利用配方法求二次函數的最值，是中檔題．