Question

設定義在R上的函數f（x），對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＞0時，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求證：x∈R時f（x）為單調遞增函數．

Answer 1

分析：（1）采用賦值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），可求得f（x）=f2(

x

2

)≥0，進一步可求得f（x）＞0，再利用單調性的定義即可證明f（x）為單調遞增函數．

解答：解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），故f（0）=1．
（2）由于f(x)=f2(

x

2

)≥0，假設存在t，使f（t）=0，則f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，與題設矛盾，所以f（x）＞0．
設x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）為單調遞增函數．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，考查賦值法的運用，考查反證法及函數單調性的定義的應用，屬于難題．