Question

．（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，

、分別為棱、的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面⊥平面；

（3）如果，一個動點從點出發在正方體的

表面上依次經過棱、、、、上的點，最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明:連結.

在正方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .

      .                                                       …………2分

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                                                 …………4分

（2）證明: 在正方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                   …………6分

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．              …………8分

（3）最小值為 .                     …………9分

如圖，將正方體六個面展開成平面圖形，                              …………10分

從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點，所求的最小值為 .                                             …………12分.

 

【解析】略