Question

已知函數f（x）=3^x+k（k為常數），A（－2k，2）是函數y= f ^－1（x）圖象上的點.

（1）求實數k的值及函數f ^－1（x）的解析式；

（2）將y= f ^－1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數y=g（x）的圖象，若2 f ^－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，試求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f ^－1（x）=log₃（x+3）（x＞－3）.（2）m≥.

【解析】主要考查指數函數、對數函數互為反函數關系、反函數概念及反函數求法。

解：（1）∵A（－2k，2）是函數y= f ^－1（x）圖象上的點，

∴B（2，－2k）是函數y=f（x）上的點.

∴－2k=3²+k.∴k=－3.

∴f（x）=3^x－3.

∴y= f ^－1（x）=log₃（x+3）（x＞－3）.

（2）將y= f ^－1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數y=g（x）=log₃x（x＞0），要使2 f ^－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log₃（x+）－log₃x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0時恒成立，只要（x++2）_min≥3.

又x+≥2（當且僅當x=，即x=時等號成立），∴（x++2）_min=4，即4≥3.∴m≥.