Question

（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、。點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點.

       （I）求橢圓的標準方程；

       （II）設直線、的斜線分別為、.

              （i）證明：；

              （ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因為橢圓過點（1，），，所以，，

又， 所以，，故所求橢圓方程為

（Ⅱ）（i）解：方法一：由于、，、的斜率分別為、，且點P不在軸上，所以，，，又直線、的方程分別為，，聯立方程解得，所以P（，），由于點P在直線上，所以，因此即，結論成立。

方法二：設，則，因為點P不在軸上，所以

又所以 因此結論成立。

（ii）解：設，，，，

聯立直線與橢圓的方程得，化簡得，

因此，由于OA，OB的斜率存在，所以，，因此，1因此

。

相似地可以得到，，因此，1，

故

若，須有或，

①當時，結合（i）的結論，可得，所以解得點P的坐標為（0,2）；

②當時，結合（i）的結論，解得或（此時，不滿足，舍去），此時直線CD的方程為，聯立方程得，。

因此P（）。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為（0,2），（）。