Question

（08年德州市質檢理）（12分） 已知四棱錐P―ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90^0。，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點

（1）證明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小

 

Answer 1

解析：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0，1），M（0,1,1／2），

（1）因=（0，0，1），=（0，1，0），

故，所以AP⊥DC．

由題設知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內的兩條相交直線，

由此得DC⊥面PAD．

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD                                                               4分

（2）因=（1，1，0），=（0，2，-1），

故

所以

AC與PB所成的角為                                                                                  8分

（3）由=（0，1，1/2），=（1，0，一1/2），=（一1，1，0）

設平面AMC與面BMC的法向量分別為=（x，y，z），=（p，q，v），

則解得：=（1，一1，2），

同理=（1，1，2），

由題可知，二面角的平面角為鈍角，

所以面AMC與面BMC二面角的大小                                      12分