Question

（1）解關于x的不等式

x+3

x+1

≤2；
（2）記（1）中不等式的解集為A，函數g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定義域為B．若B⊆A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式

x+3

x+1

≤2可化為

x-1

x+1

≥0，進而根據分式不等式的解法，可化為

(x-1)(x+1)≥0 x+1≠0

，解不等式組，即可得到答案．
（2）根據對數函數的真數部分大于0，我們可以求出函數g（x）的定義域B，進而根據B⊆A，根據集合包含關系的定義，我們可以構造一個關于a的不等式組，解不等式組即可求出滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由

x+3

x+1

≤2得：

x-1

x+1

≥0，
即

(x-1)(x+1)≥0 x+1≠0

解得x＜-1或x≥1，
即A=（-∞，-1）∪[1，+∞）
（2）由（x-a-1）（2a-x）＞0得：
（x-a-1）（x-2a）＜0
由a＜1得a+1＞2a，
∴B=（2a，a+1）
∵B⊆A，
∴2a≥1或a+1≤-1
即a≥

1

2

或a≤-2，而a＜1，
∴

1

2

≤a＜1或a≤-2
故當B⊆A時，實數a的取值范圍是(-∞，-2]∪[

1

2

，1)

點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，對數函數的定義域，分式不等式的解法，其中（1）的關鍵是將已知中的分式不等式根據實數的性質，轉化為一個整式不等式組，而（2）的關鍵是根據集合包含關系的定義，構造一個關于a的不等式組，解答本題是要注意B是函數的定義域，不可能為空集，本題易忽略此點，而得到錯解．