Question

如圖，已知AB=2c（常數c＞0），以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD，若橢圓以A，B為焦點，且過C，D兩點，則當梯形ABCD的周長最大時，橢圓的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進而可求得梯形的周長的表達式，根據二次函數的性質求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，進而根據橢圓的定義求得橢圓的長軸，利用離心率公式，可得結論．

解答：解：設∠BAC=θ，過C作CE⊥AB，垂足為E，則
BC=2csinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2csin²θ，∴CD=2c-4csin²θ，
梯形的周長l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin²=-4c（sinθ-

1

2

）2+5c．
當sinθ=

1

2

，即θ=30°時，l有最大值5c，這時，BC=c，AC=

3

c，a=

1

2

（AC+BC）=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

-1．
故答案

3

-1

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查橢圓與圓的綜合，考查橢圓的幾何性質，屬于中檔題．