Question

已知點P是圓x²+y²=1上任意一點，過點P作y軸的垂線，垂足為Q，點R滿足

RQ

=

3

PQ

，記點R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設A（0，1），點M、N在曲線C上，且直線AM與直線AN的斜率之積為

2

3

，求△AMN的面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據

RQ

=

3

PQ

，確定P，R坐標之間的關系，利用點P是圓x²+y²=1上任意一點，可得點R的軌跡方程；
（Ⅱ）（1）當直線MN的斜率不存在時，不合題意；
（2）當直線MN的斜率存在時，確定直線MN過定點T（0，-3），再計算△AMN的面積，利用換元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面積的最大值．

解答：解：（I）設R（x，y），P（x₀，y₀），則Q（0，y₀）．
∵

RQ

=

3

PQ

，∴

x0= 3 3 x y0=y

，
∵點P是圓x²+y²=1上任意一點，
∴x02+y02=1，
∴點R的軌跡方程：

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）（1）當直線MN的斜率不存在時，設MN：x=t(-

3

＜t＜

3

)．
則M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kAM•KAN=

1

3

，不合題意．…（7分）
（2）當直線MN的斜率存在時，設l_MN：y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0．
∴△=12（3k²-b²+1）＞0，x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-3

1+3k2

．…（9分）
又kAM•kAN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

，
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0．
將x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b2-3

1+3k2

代入上式，得b=-3．
∴直線MN過定點T（0，-3）．…（11分）
∴S△AMN=

1

2

|AT|•|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

•

3k2-8

1+3k2

．…（13分）
令

3k2-8

=t(t＞0)，即3k²=t²+8，∴

3k2-8

1+3k2

=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

≤

1

6

．
當且僅當t=3時，(S△ABC)max=

2 3

3

．…（15分）

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查三角形的面積，解題的關鍵是利用代入法求軌跡方程，構建面積函數，利用基本不等式求最值．