Question

下列命題：
①冪函數都具有奇偶性； 
②命題P：?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題P為真的實數a的取值范圍為a＜3；
③代數式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值與角a有關；
④將函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象所對應的函數是奇函數； 
⑤已知數列{a_n}滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），記S_n=a₁+a₂+…a_n，則S₂₀₁₁=m；
其中正確的命題的序號是

②⑤

  （請把正確命題的序號全部寫出來）

Answer 1

分析：列舉反例，可得命題①為假；利用函數成立問題的處理方法，可以判斷②的正誤；根據特殊角三角函數值，及兩角和的正弦值，可以判斷③的對錯；利用函數平移變換及三角函數的奇偶性的判斷方法，可以判斷④的對錯；根據數列的分組求和法，利用數列各項的變化趨勢，可以得到⑤正誤，進而得到答案．

解答：解：①冪函數y=x

1

2

，定義域為[0，+∞），非奇非偶，故①不正確；
②當x₀∈[-1，1]時，x₀²+x₀+1∈[

3

4

，3]
∴?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題P為真的實數a的取值范圍為a＜3為真命題；
③∵sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)=sinα+

3

2

cosα-

1

2

sinα-

3

2

cosα-

1

2

sinα=0恒成立，
∴代數式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值與角α有關為假命題；
④將函數f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象所對應的函數是f（x）=3sin（2x+

π

3

），是非奇非偶函數，故④為假命題；
⑤∵數列{a_n}滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），∴a₃=n-m，a₄=-m，a₅=-n，a₆=m-n，a₇=m，a₈=n，…
∴數列{a_n}的項以6為周期，呈周期性變化，且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，∴S₂₀₁₁=a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=a₁=m
故⑤為真命題
故答案為：②⑤

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，存在量詞，數列遞推式，兩角和與差的正弦函數，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，其中熟練掌握這些基本的知識點是解答此類問題的根本．