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已知向量
OA
，
OB
為單位向量，且
OA
•
OB
=
1
4
，點C是向量
OA
，
OB
的夾角內一點，|
OC
|=4，
OC
•
OB
=
7
2
，若數列{an}滿足
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
+a1
OA
，則a6=（　　）
分析：根據
OB
•
OC
=
7
2
列出一個關系式①，再根據
OA
•
OB
=
1
4
，可以求得
OA
與
OB
夾角的余弦值，同理可以求出
OB
與
OC
夾角的余弦值，再根據角之間的關系，可以求得
OA
與
OC
的夾角的余弦值，從而利用
OA
•
OC
列出一個等式②，聯立①②即可得a1和遞推關系，根據遞推關系即可求得．
解答：解：∵
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
+a1
OA
，
∴
OB
•
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OB
•
OB
+a1
OA
•
OB

∵向量
OA
，
OB
為單位向量，且
OA
•
OB
=
1
4
，
OC
•
OB
=
7
2
，
∴
7
2
=
3an+1(an+1)
2an
+
1
4
a1  ①
設
OA
與
OB
的夾角為θ，
OB
與
OC
的夾角為α，
OA
與
OC
的夾角為β，
OA
•
OB
=|
OA
||
OB
|cosθ=
1
4
，∴cosθ=
1
4
，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=
15
4
，
OB
•
OC
=|
OB
||
OC
|cosα=
7
2
，∴cosα=
7
8
，∵α∈[0，π]，∴sinα=
15
8
，
∴cosβ=cos（θ-α）=cosθcosα+sinθsinα=
1
4
×
7
8
+
15
4
×
15
8
=
11
16

∴
OA
•
OC
=|
OA
||
OC
|cosβ=1×4×
11
16
=
11
4

OA
•
OC
=
3an+1(an+1)
2an
OA
•
OB
+a1
OA
•
OA
，
即
11
4
=
3an+1(an+1)
2an
×
1
4
+a1  ②
由①②可解得，a1=2，
3an+1(an+1)
2an
=3，
由
3an+1(an+1)
2an
=3可得an+1=
2an
an+1
，
∴a2=
2a1
a1+1
=
4
3
，a3=
2a2
a2+1
=
8
7
，a4=
2a3
a3+1
=
16
15
，a5=
2a4
a4+1
=
32
31
，a6=
2a5
a5+1
=
64
63
，
故選A．
點評：本題考查了平面向量的數量積、三角函數求值、數列的遞推公式，綜合性非常強，對學生的要求很高，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
OA
，
OB
的夾角為
π
3
，|
OA
|=4，|
OB
|=1，若點M在直線OB上，則|
OA
-
OM
|的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
OA
、
OB
夾角為θ，θ∈(0，
π
2
)，|
OA
|=3，點M在直線OB上，且|
OA
+
OM
|的最小值為
3
2
，則sinθ的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知向量
OA
與
OB
關于y軸對稱，向量
a
=（1，0），滿足不等式
OA2
+
a
•
AB
≤0的點A（x，y）的集合為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•盧灣區二模）已知向量
OA
，
OB
的夾角為
π
3
，
| OA|
=4，
| OB|
=1，若點M在直線OB上，則|
OA
-
OM
|的最小值為
2
3
2
3
．

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