Question

已知函數(shù)（為實常數(shù)）．

（1）若函數(shù)圖像上動點到定點的距離的最小值為，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若不等式在有解，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）；（3）當時，；

當時，．

【解析】

試題分析：（1）點是函數(shù)上的點，因此我們設(shè)點坐標為，這樣可把表示為關(guān)于的函數(shù)，而其最小值為2，利用不等式的知識可求出，即點坐標，用基本不等式時注意不等式成立的條件；（2）題目已經(jīng)要求我們用函數(shù)單調(diào)性的定義求解，因此我們直接用定義，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，說明恒成立，變形后可得恒成立，即小于的最小值（如有最小值的話），事實上，故；（3）不等式在有解，則，因此大于或等于的最小值，下面我們要求的最小值，而，可以看作是關(guān)于的二次函數(shù)，用換元法變?yōu)榍蠖�次函�?shù)在給定區(qū)間上的最小值，注意分類討論，分類的依據(jù)是二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系．

試題解析：（1）設(shè)，則，

                   （1分）

，                （1分）

當時，解得；當時，解得．     （1分）

所以，或．                    （1分）

 （只得到一個解，本小題得3分）

（2）由題意，任取、，且，

則，  （2分）

因為，，所以，即，        （2分）

由，得，所以．

所以，的取值范圍是．                        （2分）

（3）由，得，

因為，所以，                   （2分）

令，則，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，當且僅當（）．  （1分）

因為，所以圖像開口向下，對稱軸為直線，

因為，故當，即時，； （4分）

當，即時，．           （5分）

綜上，當時，；

當時，．                       （6分）

考點：（1）兩點間的距離公式與基本不等式；（2）函數(shù)的單調(diào)性；（3）不等式有解問題．