Question

已知函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當0＜a≤

1

2

時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4，當a=

1

4

時，若對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）=0，得x1=

1-a

a

， x2=1，再進行分類討論：當a=

1

2

時，f'（x）≤0；當0＜a＜

1

2

時，

1-a

a

＞1，在（0，1）和(

1-a

a

，+∞)上，有f'（x）＜0，在(1，

1-a

a

)上，f'（x）＞0，由此即可得到結論；
（Ⅱ）當a=

1

4

時，

1-a

a

=3，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，確定函數f（x）在（0，2）的最小值，再將對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉化為只需當x∈[1，2]時，g_max（x）≤f（x）_min即可，由此可求實數b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得：f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x 2

=-

[ax-(1-a)](x-1)

x2

(x＞0)
令f′（x）=0，得x1=

1-a

a

， x2=1…（3分）
當a=

1

2

時，f'（x）≤0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減         …（4分）
當0＜a＜

1

2

時，

1-a

a

＞1，在（0，1）和(

1-a

a

，+∞)上，有f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
在(1，

1-a

a

)上，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增    …（6分）
（Ⅱ）當a=

1

4

時，

1-a

a

=3，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1
由（Ⅰ）知，函數f（x）在（0，1）上是單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
所以函數f（x）在（0，2）的最小值為f(1)=-

1

2

…（8分）
若對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需當x∈[1，2]時，g（x）_max≤-

1

2

即可，
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
當b＜1時，g（x）_max=g（2）=8-4b≤-

1

2

，b≥

17

8

，不合題意，舍去，
當b∈[1，2]時，g（x）_max=g（b）=4-b²≥0，不合題意，舍去，
當b＞2時，g（x）_max=g（1）=5-2b，b≥

11

4

．
綜上，實數b的取值范圍是[

11

4

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是將對任意x₁∈（0，2），當x₂∈[1，2]時，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉化為只需當x∈[1，2]時，g_max（x）≤f（x）_min．