Question

(本小題滿分12分〉

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x,y)為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)I,直線PA與PB的斜率之積為定值.

(I) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(II)若F(1,0),過點(diǎn)F的直線l交軌跡E于M、N兩點(diǎn)，以MN為對角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上，求直線l的方程.

Answer 1

解：⑴由題意，----------- 2分

整理得，   所以所求軌跡的方程為，------ 4分

⑵當(dāng)直線與軸重合時(shí)，與軌跡無交點(diǎn)，不合題意；

  當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，以為對角線的正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；--------------- 6分

  當(dāng)直線與軸既不重合，也不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線，

的中點(diǎn)，

  由消得，

  由得  -------------------8分

所以，

  則線段的中垂線的方程為：

  整理得直線，

  則直線與軸的交點(diǎn)，

         注意到以為對角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在軸上，

當(dāng)且僅當(dāng),

         即 ，----------------10分

            ，      ①

            由        ②

            將②代入①解得 ，即直線的方程為，

            綜上，所求直線的方程為或．------------12分

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