Question

已知函數
（1）若為的極值點，求實數的值；
（2）若在上為增函數，求實數的取值范圍；
（3）當時，方程有實根，求實數的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）0.

試題分析：（1）先求導數，因為為的極值點，所以，所以得出；（2）因為在區間 上為增函數，所以恒成立，通過對和進行討論；（3）將代入方程，得到，所以本題轉化成與的交點問題，所以通過求導判斷函數的單調性，畫出函數的圖像，得到的取值范圍.
試題解析：(1)解：         1分
因為為的極值點，所以   2分
即，解得：    3分
又當時，，從而為的極值點成立．  4分
(2)解：∵在區間 上為增函數，
∴在區間 上恒成立．  5分
①當時，在 上恒成立，所以在 上為增函數，
故符合題意．    6分
②當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，
所以在區間 上恒成立．  7分
令，其對稱軸為    8分
∵，∴，從而在 上恒成立，只要即可，
由，解得：  9分
∵，∴．綜上所述，的取值范圍為       10分
(3)解：時，方程可化為，．
問題轉化為在 上有解                               11分
令，則                   12分
當時，，∴在上為增函數
當時，，∴在上為減函數
故，而，故，即實數的最大值是0．     14分