Question

以O(shè)為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)·=1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t，0)，t∈［3，+∞)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x₀，y₀).

(1)求x₀關(guān)于t的函數(shù)x₀=f(x)的表達(dá)式，判斷函數(shù)f(t)的單調(diào)性，并證明你的判斷；

(2)設(shè)△OFG的面積S=t，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)G，求當(dāng)||取得最小值時(shí)橢圓的方程；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，92)，C、D是橢圓上的兩點(diǎn)，且=λ(λ≠1)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由題意，=(x₀-t，y₀)，=(t，0)，

    則·=t(x₀-t)=1，∴x₀=f(t)=t+.

    設(shè)3≤t₁＜t₂，則f(t₂)-f(t₁)=(t₂+)-(t₁+)=.

∵t₂-t₁＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，∴f(t₂)-f(t₁)＞0，f(t₂)＞f(t₁)，

∴f(t)在［3，+∞)上單調(diào)遞增.

(2)由S=|||y₀|=t·|y₀|=t，得y₀=±，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(t+，±)，||²=(t+)²+.

∵f(t)在［3，+∞］上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)t=3時(shí)，||取得最小值，此時(shí)F、G的坐標(biāo)分別是(3，0)、(，±).

    由題意設(shè)橢圓方程為=1，由點(diǎn)G在橢圓上得=1，解得b²=9，

∴所求橢圓方程為=1.

(3)方法1：設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(x，y)、(m，n)，則=(x，y-)，=(m，n-).

    由=λ，得(x，y-)=λ(m，n-)，x=λm，y=λn-λ+.

∵C、D在橢圓上，∴=1，=1，消去m得 n=.

又∵|n|≤3，∴||≤3，解得≤λ≤5，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是［，1)∪(1，5］.

方法2：記點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0，3)、(0，-3)，過點(diǎn)A、B分別作y軸的垂線，交直線PC于點(diǎn)M、N.

    若||＜||，則||≤||，||≥||，

∴1＜≤==5，則1＜≤5，≤λ＜1；

    若||＞||，同理可得1＜≤==5，則1＜λ≤5.

    綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是［，1)∪(1，5］.