Question

（2013•紹興一模）已知

a

，

b

為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量

c

滿足

c

+

a

=λ(

c

+

b

)（λ∈R），則|

c

|的最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：由題意得

a

•

b

=0，故將

c

+

a

=λ(

c

+

b

)化簡得（1-λ）

c

=λ

b

-

a

，再判斷出λ≠1，求出

c

的表達式，再將此時兩邊平方并化簡，再構造函數y=

λ2+1

(1-λ)2

，利用判別式法求出此函數的最小值，再開方后就是所求的最小值．

解答：解：由

c

+

a

=λ(

c

+

b

)得，（1-λ）

c

=λ

b

-

a

①，
∵

a

，

b

為平面內兩個互相垂直的單位向量，
∴λ

b

-

a

≠

0

，即λ≠1，且

a

•

b

=0，且|

a

|=|

b

|=1，
由①得，

c

=

λ b - a

1-λ

=

λ b

1-λ

-

a

1-λ

，
將上式兩邊平方得，
|

c

|2=(

λ b

1-λ

-

a

1-λ

)2=(

λ

1-λ

)2×

b

2+(

1

1-λ

)2×

a

2=

λ2+1

(1-λ)2

，
令y=

λ2+1

(1-λ)2

=

λ2+1

λ2-2λ+1

得，（y-1）x²-2yx+y-1=0，此方程有實根，
由△=4y²-4（y-1）²≥0得，2y-1≥0，解得y≥

1

2

，
即|

c

|2≥

1

2

，即|

c

| ≥

2

2

，
則|

c

|的最小值為：

2

2

．

點評：本小題主考查向量的數量積及向量模的相關運算問題，兩個向量是互相垂直的單位向量，這給運算帶來很大方便，利用數量積為零的條件時進行移項，向量求模的方法是根據模的平方等于向量的平方，考查了很少用的“判別式法求函數的最值”，難度較大．