Question

如圖．在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐，且AB=2，P∈平面CC₁D₁D，PD=PC=AD=

2

．
（1）求證：PD⊥平面PBC；
（2）若AA₁=a，當a為何值時，PC∥平面AB₁D；
（3）在（2）的前提下，若點P，A，D，C₁在同一球面上，求此球面的面積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定，證明PD⊥BC，PD⊥PC，即可證得結論；
（2）當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，可得PC∥DC₁，從而可知PC∥平面AB₁D；
（3）證明PD，PA，PC₁兩兩垂直，點P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD為相鄰三條棱的長方體的外接球面，求出球面的半徑，即可求球面的面積．

解答：（1）證明：因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，所以BC⊥平面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?平面CC₁D₁D，則PD⊥BC．
因為PD=PC=

2

，AB=2，所以△PCD為等腰直角三角形，則PD⊥PC．
因為PC∩BC=C，所以PD⊥平面PBC．
（2）解：當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，所以∠CDC₁=45°，
因為∠PCD=45°，PC和C₁D在同一個平面內，所以PC∥DC₁，
因為DC₁?平面AB₁D，PC?平面AB₁D，所以PC∥平面AB₁D．
（3）解：因為AD⊥平面CC₁D₁D，PD，DC₁在平面CC₁D₁D內，所以AD⊥PD，AD⊥DC₁，
由（2）知∠PDC₁=90°，即PD⊥DC₁，可知PD，PA，PC₁兩兩垂直，點P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD為相鄰三條棱的長方體的外接球面，
因為PD=AD=

2

，DC1=2

2

，從而此球面的直徑2R=2

3

，所以球面的半徑R=

3

，
則所求球面的面積為4πR2=4π(

3

)2=12π．

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查球面面積的計算，掌握線面垂直、線面平行的判定，正確計算球的半徑是關鍵．