Question

橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，設(shè)的角平分線交的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線,使與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為。若，試證明為定值，并求出這個定值。

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）  （Ⅲ）

（Ⅰ）設(shè)，過且垂直于軸的直線與橢圓相交，則其中的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得解得，
所以橢圓的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知則
由橢圓定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015733141456.png" style="vertical-align:middle;" />平分，
所以

所以，
另解：由題意可知：=,=,
設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得
，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015733765497.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，而，所以.
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015733219280.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，則點(diǎn)為切點(diǎn)，設(shè)
.
設(shè)與聯(lián)立得，
由得，
所以

另解：由題意可知，為橢圓的在點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程，
所以，而，代入中得
為定值.
【考點(diǎn)定位】本題通過橢圓的離心率、焦點(diǎn)、弦長、定義等基本知識來考查運(yùn)算能力、推理論證能力。第一問較為簡單，通過三者的固有關(guān)系確定橢圓方程為.第二問處理方式很多，可利用角平分線性質(zhì)定理尋找線段間的比例關(guān)系、可利用點(diǎn)到直線的距離相等來確定的取值范圍，但要注意直線斜率不存在的情形的說明.第三問中的直線的方程設(shè)法很多，也是決定運(yùn)算量大小的關(guān)鍵，如果設(shè)為，則會出現(xiàn)，其運(yùn)算強(qiáng)度較大，而設(shè)為可通過得到關(guān)系式，大大簡化了運(yùn)算.