Question

已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為5，圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為2

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．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y+5=0與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得A，B關于過點P（-2，4）的直線l對稱？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設⊙C的方程為（x-m）²+y²=25（m＞0），由弦長公式求出m，即得圓C的方程．
（2） 由圓心到直線的距離等于半徑，求得實數a的取值范圍．
（3）設存在實數a，使得A，B關于l對稱，則有

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，解出實數a的值，得出結論．

解答：解：（1）設⊙C的方程為（x-m）²+y²=25（m＞0），由題意設

|m+3 2 = 25-17 m＞0

，
解得 m=1．故⊙C的方程為（x-1）²+y²=25．
（2）由題設知 

|a+5|

a2+1

＜5，故12a²-5a＞0，所以，a＜0，或a＞

5

12

．
故實數a的取值范圍為(-∞，0)∪(

5

12

，+∞)．
（3）設存在實數a，使得A，B關于l對稱．∴PC⊥AB，又 a＜0，或a＞

5

12

，
即

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

，∴a=

3

4

，
∴存在實數a=

3

4

，滿足題設．

點評：本題考查圓的標準方程以及直線和圓相交的性質，兩直線垂直的性質，由存在實數a，使得A，B關于l對稱得到

a•(- 4 3 )=-1 a＜0或a＞ 5 12

 是解題的關鍵和難點．