Question

已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，對于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知數(shù)列{bn}:b1＝2n－1＋1

(1)求數(shù)列{an}的通項an以及它的前n項和Sn；

(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；

(3)猜想Sn和Tn的大小關系，并說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

解析:

（Ⅰ）∵

∴。

∴

∴，∴。                                                           

即。

∴

。

∴，

∴又，∴。                                                                      

∴

        。                                                          

（Ⅱ）∵，

∴

。                                                                                  

（Ⅲ）

當時，，∴；

當時，，∴；

當時，，∴；

當時，，∴；

當時，，∴；

當時，，∴。                     

       

猜想：當時，。                                                          

即。亦即。

下面用數(shù)學歸納法證明：

當時，前面已驗證成立；                                             

假設時，成立，那么當時，

。

∴當時，也成立。               

由以上、可知，當時，有；當時，；

當時，。