Question

已知（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ（cosαcosβ≠0），設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析表達式；
（Ⅱ）若α角是一個三角形的最小內角，試求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平方關系式代換“1”，化簡（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ為tanα，tanβ的表達式，求出函數的表達式．
（Ⅱ）α角是一個三角形的最小內角，通過設函數g（x）=2x+，利用函數的導數求出極值點，利用函數的單調性，求出函數的極值，然后確定函數f（x）的值域．
解答：解：（Ⅰ）已知可變為（cos²α+2sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ…（2分）
因為cosαcosβ≠0，（1+2tan²α）tanβ=tanα，y+2x²y=x，
所以，即f（x）=．…（5分）
（Ⅱ）因為α是三角形的最小內角，∴0＜α≤，0，
設g（x）=2x+，0，
g′（x）=2-，令g′（x）=0，解答x=，
，g′（x）＜0，函數g（x）是減函數，
時，g′（x）＞0，函數g（x）是增函數，
所以g（x）在是減函數，在是增函數，
所以 當時，g_min（x）=…（11分）
故函數f（x）的值域為．
點評：本題考查三角函數的化簡求值，函數的導數與函數的極值的關系，考查轉化思想，計算能力．