(本小題12分)若存在實常數
和
，使得函數
和
對其定義域上的任意實數
分別滿足
和
，則稱直線
為和的“隔離直線”．已知
，
（其中
為自然對數的底數）．
(1) 判斷函數
的零點個數并證明你的結論；
(2) 函數
和
是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．
（12分）(1) 函數
只有一個零點。
證明
， 
．
當
時，
．
當
時，
，此時函數遞減；
當
時，
，此時函數遞增；∴當時，取極小值，其極小值為
．
所以函數只有一個零點。
(2)解法一：由（1）可知函數
和
的圖象在
處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設隔離直線的斜率為
，則直線方程為
，即
．
由
，可得
當
時恒成立
， 
由
，得
．
下面證明
當
時恒成立．令
，
則
， 當時，
．
當時，
，此時函數
遞增；當時，
，此時函數遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．
從而
，即
恒成立．
∴函數和存在唯一的隔離直線
．
解法二： 由(1)可知當時，
(當且當時取等號) ．
若存在和的隔離直線，則存在實常數和
，
使得
和
恒成立，
令，則
且
，即
．后面解題步驟同解法一．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源：2012-2013學年河北省石家莊市高三下學期第二次質量檢測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分12分）
已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(I )求拋物線C的方程；
(II)若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存 在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年貴州省高三第一次月考理科數學 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知方向向量為v=(1,
)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：
的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足
cot∠MON
≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存
在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學期期末考試數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知中心在原點，焦點在
軸上的橢圓C的離心率為
，且經過點
，過點P（2，1）的直線
與橢圓C相交于不同的兩點A、B.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存直線，滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2010-2011年遼寧省高二下學期期中考試理科數學 題型：解答題
(本小題滿分12分)
已知函數
，
為實數）有極值，且在
處的切線與直線
平行.
（I）求實數a的取值范圍；
（II）是否存在實數a，使得函數
的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存
在，請說明理由；
（Ⅲ）設
求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
(本小題滿分12分) 如圖所示，已知圓
為圓上一動點，點
在
上，點
在
上，且滿足
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
且斜率為k的動直線
交曲線于A、B兩點，在y軸上是否存在定點G，滿足
使四邊
形
為矩形？若存在，求出G的坐標和四邊形面積的最大值；若不存
在，說明理由。
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