Question

設數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，S_n為其前n項和，m、n、p均為正整數，且滿足m+n=2p，求證：

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．

Answer 1

分析：依題意，分q=1與q≠1討論，利用分析法與基本不等式即可證得結論成立．

解答：解：當各項均為正數的等比數列{a_n}的公比q=1時，

1

S 2 m

+

1

S 2 n

=

1

(ma1)2

+

1

(na1)2

=

1

a12

（

1

m2

+

1

n2

）≥

1

a12

×

2

mn

，
∵m、n、p均為正整數，且滿足m+n=2p，
∴2p≥2

mn

，
∴

2

p2

≤

2

mn

，
∴

1

a12

•

2

p2

≤

1

a12

•

2

mn

，又

2

S 2 p

=

1

a12

•

2

p2

；
∴

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

；
當q≠1時，

1

S 2 m

=

(1-q)2

a12(1-qm)2

，

1

S 2 n

=

(1-q)2

a12(1-qn)2

，

1

S 2 p

=

(1-q)2

a12(1-qp)2

，
要證

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

，只需證

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qp)2

．
∵

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qm)(1-qn)

，
∴只需證（1-q^m）•（1-qⁿ）≤（1-q^p）²，
即證-q^m-qⁿ+q^m+n≤-2q^p+q^2p，∵m+n=2p，
∴只需證q^m+qⁿ≥2q^p．
∵q^m+qⁿ≥2

qm•qn

=2

qm+n

=2q

m+n

2

=2q^p成立，
∴q≠1時，原結論成立．
綜上所述，

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．

點評：本題考查等比數列的前n項和，突出分析法的應用，著重考查抽象思維與運算能力，考查邏輯推理與證明能力，屬于難題．