Question

已知函數(shù)f (x)＝x³＋(1－a)x²－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 證明：對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 設(shè)(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，再分情況證明；
(Ⅱ)

試題分析：
(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增．
又f (0)＝1，f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．
當(dāng)f (a)≥－1時，取p＝a．
此時，當(dāng)x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
當(dāng)f (a)＜－1時，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此時，當(dāng)x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
綜上，對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1．             7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值為f (a)．
當(dāng)0＜a≤1時，f (a)≥－1，則g(a)是方程f (p)＝1滿足p＞a的實根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0滿足p＞a的實根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上單調(diào)遞增，故g(a)_max＝g(1)＝．
當(dāng)a＞1時，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．
此時，g(a)≤1．
綜上所述，g(a)的最大值為．                                               15分
點評：研究函數(shù)的性質(zhì)往往離不開導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，要靈活運用；另外，函數(shù)如果含參數(shù)，一般離不開分類討論，分類討論時要做到不重不漏.