Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經過A(-2，0)，B(1，

3

2

)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E的左、右焦點分別是F、H，過點H的直線l：x=my+1與橢圓E交于M、N兩點，則△FMN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由橢圓E經過A（-2，0）、B(1，

3

2

)兩點，知

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設y₁＞0，y₂＜0，設△FMN的內切圓的半徑為R，則S_△FMN=4R，當S_△FMN最大時，R也最大，△FMN的內切圓的面積也最大，由此能求出△FMN的內切圓的面積的最大值及直線l的方程．

解答：解：（1）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓E經過A（-2，0）、B(1，

3

2

)兩點，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，
∴a²=4，b²=3
∴橢圓E的方程為

x2

4

+3=1．…（6分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設y₁＞0，y₂＜0，
如圖，設△FMN的內切圓的半徑為R，
則S_△FMN=

1

2

（|MN|+|MF|+|NF|）R
=

1

2

[（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R，
當S_△FMN最大時，R也最大，△FMN的內切圓的面積也最大，
∵S_△FMN=

1

2

|FH||y₁|+

1

2

|FH||y₂|，|FH|=2c=2，
∴S_△FMN=|y₁|+|y₂|=y₁-y₂．
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
則△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1•y2=

-9

3m2+4

∴y1-y2=

(y1+y2)2-4y2y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△FMN=

12 m2+1

3m2+4

…（10分）
設

m2+1

=t，則t≥1，且m²=t-1，
∴S△FMN=

12t

3(t-1)2+4

=

12t

3t2+1

，
設f(t)=

12t

3t2+1

，則f′(t)=

12-36t2

(3t2+1)2

，
∵t≥1，∴f'（t）＜0，
∴函數f（t）在[1，+∞）上是單調減函數，
∴f（t）_max=f（1）=3，即S_△FMN的最大值是3．
∴4R≤3，R≤

3

4

，即R的最大值是

3

4

，
∴△FMN的內切圓的面積的最大值是

9π

16

，
此時m=0，直線l的方程是x=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內切圓面積最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．