Question

（本題滿分12分）

四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

紀念幣	A	B	C	D
概率	1/2	1/2	a	a

這四個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示出正面向上的個數。

（1）求概率p(ξ)

（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）為最大時，a的取值范圍。

（3）求ξ的數學期望。

Answer 1

a∈[]  ,2a+1

解析:

解：

（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。

∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2·a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2· a²=(1+2a-2 a²)

p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a²=

p(ξ=4)= ()2 a²=a²               ……………………………………5分

(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

則p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a²)- =－≥0

由

，即a∈[]                 ……………………9分

（3）由（1）知ξ的數學期望為

Eξ=0×（1-a）2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a²)+3×+4×=2a+1………………12分