Question

（09年湖北八校聯考文）(12分)如圖，已知正三棱柱的各棱長都為，為棱上的動點．

(Ⅰ)當時，求證：．                              

(Ⅱ) 若，求二面角的大小．              

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，求點到平面的距離．              

 

Answer 1

解析：解法一 公理化法

（1）當時，取的中點，連接，因為為正三角形，則，由于為的中點時，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當時，過作于,如圖所示，則底面,過作于,連結，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.……………………………8分

(3)設到面的距離為，則,平面,

即為點到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當時，點的坐標是

設平面的一個法向量，則即

取，則，

又平面的一個法向量為

又由于二面角是一個銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分