Question

已知一個全面積為24的正方體，內有一個與每條棱都相切的球，此球的體積為（　　）

• A、

  4π

  3

• B、4

  3

  π
• C、

  24 6 π

  3

• D、

  8 2 π

  3

Answer 1

分析：根據正方體的全面積求出正方體的棱長，根據球與每條棱都相切，得到球的半徑和正方體的棱長之間的關系，進而求出球的體積．

解答：解：∵正方體的全面積為24，設正方體的棱長為a，
∴6a²=24，即a²=4，
解得a=2，
∵球與每條棱都相切，
∴球心O到各棱的距離相等，即側面正方形的對角線等于球的直徑2R，
正方體側面正方形的對角線為2

2

，
∴2R=2

2

，
解得球的半徑R=

2

，
∴球的體積為

4

3

π•(

2

)3=

8 2

3

π，
故選：D．

點評：本題主要考查正方體和球相切的問題，利用球和棱相切的關系單調球直徑和正方體面對角線之間的關系是解決本題的關鍵，要求熟練掌握球的體積公式．