Question

已知函數f（x），（x∈D），若同時滿足以下條件：
①f（x）在D上單調遞減或單調遞增
②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么稱f（x）（x∈D）為閉函數．
（1）求閉函數f（x）=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數y=2x+lgx是不是閉函數？若是請找出區間[a，b]；若不是請說明理由；
（3）若y=k+

x+2

是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=-x³在R上單減，可得

a＜b -a3=b -b3=a

，可求a，b
（2）由函數y=2x+lgx在（0，+∞）單調遞增可知

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

，結合對數函數的單調性可判斷
（3）易知y=k+

x+2

在[-2，+∞）上單調遞增．設滿足條件B的區間為[a，b]，則方程組

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

有解，方程x=k+

x+2

至少有兩個不同的解，即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個都不小于k的不根．結合二次方程的實根分布可求k的范圍
另解：（1）易知函數f（x）=-x³是減函數，則有

f(b)=a f(a)=b

，可求
（2）取特值說明即可，不是閉函數．
（3）由函數f（x）=k+

x+2

是閉函數，易知函數是增函數，則在區間[a，b]上函數的值域也是[a，b]，說明函數f（x）圖象與直線y=x有兩個不同交點，結合函數的 圖象可求

解答：解：（1）∵y=-x³在R上單減，所以區間[a，b]滿足

a＜b -a3=b -b3=a

解得a=-1，b=1
（2）∵函數y=2x+lgx在（0，+∞）單調遞增
假設存在滿足條件的區間[a，b]，a＜b，則

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

∴lgx=-x在（0，+∞）有兩個不同的實數根，但是結合對數函數的單調性可知，y=lgx與y=-x只有一個交點
故不存在滿足條件的區間[a，b]，函數y=2x+lgx是不是閉函數
（3）易知y=k+

x+2

在[-2，+∞）上單調遞增．設滿足條件B的區間為[a，b]，則方程組

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

有解，方程x=k+

x+2

至少有兩個不同的解
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個都不小于k的不根．
∴

△＞0 f(k)=k2-k(2k+1)+k2-2≥0 2k+1 2 ＞k

得-

9

4

＜k≤-2，即所求．
另解：（1）易知函數f（x）=-x³是減函數，則有

f(b)=a f(a)=b

，解得

a=-1 b=1

，
（2）∵函數y=2x+lgx在（0，+∞）單調遞增
假設存在滿足條件的區間[a，b]，a＜b，則

2a+lga=a 2b+lgb=b

即

lga=-a lgb=-b

∴lgx=-x在（0，+∞）有兩個不同的實數根，但是結合對數函數的單調性可知，y=lgx與y=-x只有一個根
所以，函數y=2x+lgx是不是閉函
（3）由函數f（x）=k+

x+2

是閉函數，易知函數是增函數，則在區間[a，b]上函數的值域也是[a，b]，說明函數f（x）圖象與直線y=x有兩個不同交點，令k+

x+2

=x，則有
k=x-

x+2

=(

x+2

-

1

2

)2=(t-

1

2

)2-

9

4

，（令t=

x+2

≥0），如圖
則直線若有兩個交點，則有k∈(-

9

4

，-2]

點評：本題主要考查了函數的單調性的綜合應用，方程的解與函數的交點的相互轉化關系的應用，綜合應用了函數的知識及數形結合思想、轉化思想．