Question

已知雙曲線

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（b＞a＞0），0為坐標原點，離心率e=2，點M（

5

，

3

）在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0，求：|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求雙曲線的方程，只需找到含a，b，c的方程，因為雙曲線的離心率e=2，且點M（

5

，

3

）在雙曲線上，所以可以得到兩個關于a，b，c的方程，再根據c²=a²+b²，就可解出a，b，c，求出雙曲線的方程．
（2）因為

OP

•

OQ

=0，所以

OP

⊥

OQ

，設直線OP的方程為y=kx，則直線OP的方程為y=-

1

k

x，分別代入雙曲線方程，即可得P，Q的坐標用含k的式子表示，再代入|OP|²+|OQ|²，化簡，利用均值不等式求最值即可．

解答：解：（1）∵離心率e=2∴

c

a

=2
∵點M（

5

，

3

）在雙曲線上，∴

5 2

a 2

-

3 2

b 2

=1
又∵c²=a²+b²
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1
（2）設P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線OQ的方程為y=kx，∵

OP

•

OQ

=0∴OP⊥OQ，∴直線OP的方程為y=-

1

k

x
化簡得x₁²=

12

3-k2

，y₁²=

12k2

3-k2

，x₂²=

12

3-( 1 -k )2

，y₂²=

12( - 1 k )2

3-( 1 -k )2

∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=

12

3-k2

+

12k2

3-k2

+

12

3-( 1 -k )2

+

12( - 1 k )2

3-( 1 -k )2

=

12+12k2

3-k2

+

12+12k2

3k2-1

=

24(1+k2)2

(3-k2)(3k2-1)

設1+k2=t，則t≥1，0＜

1

t

≤1
∴|OP|²+|OQ|²=

24t2

(4-t )(3t -4)

=

24

16(- 1 t2 + 1 t )-3

≥

24

16(- 1 22 + 1 2 )-3

=24
當且僅當t=2，即k=±1時，等號成立．
∴|OP|²+|OQ|²的最小值為24．

點評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及雙曲線與不等式相結合求最值，做題時要認真分析，找到兩者的聯系．