Question

(本小題滿分16分)

如圖,在平面直角坐標系中,已知點為橢圓的右頂點, 點,點在橢
圓上, .

(1)求直線的方程；
(2)求直線被過三點的圓截得的弦長；
(3)是否存在分別以為弦的兩個相外切的等圓?若存在,求出這兩個圓的方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) ；(2) ；
(3)存在這樣的兩個圓,且方程分別為,。

(1)根據,B、P關于y軸對稱,可求得,再求出BD的斜率,寫出點斜式方程,再化成一般式即可.
(2)先求出BP的垂直平分線方程,然后利用點到直線的距離公式求出圓心到此平分線的距離,再利用弦長公式求出弦長即可.
(3)解本小題的關系是先假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,從而分析出點M一定在y軸上,點N一定在線段PC的垂直平分線上,當圓和圓是兩個相外切的等圓時,一定有P,M,N在一條直線上,且PM=PN.到此就有了明晰的解題思路.
(1)因為,且A(3,0),所以=2,而B,P關于y軸對稱,所以點P的橫坐標為1,從而得……………………3分         
所以直線BD的方程為…………………………5分
(2)線段BP的垂直平分線方程為x=0,線段AP的垂直平分線方程為,
所以圓C的圓心為(0,－1),且圓C的半徑為………………………8分
又圓心(0,－1)到直線BD的距離為,所以直線被圓截得的弦長
為……………………………10分
(3)假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,則點M一定在y軸上,點N一定在線段PC的垂直平分線上,當圓和圓是兩個相外切的等圓時,一定有P,M,N在一條直線上,且PM=PN…………………………………12分
設,則,根據在直線上,
解得………………………14分
所以,故存在這樣的兩個圓,且方程分別為
,……………………………16分