Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓Ω，它的離心率為

1

2

，一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合，過直線l：x=4上一點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）判斷直線AB是否恒過定點C；若是，求定點C的坐標．若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），從而得到c=1，再由

c

a

=

1

2

能求出橢圓Ω的方程．
（Ⅱ）設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，由此推導出直線AB的方程是x+

t

3

y=1，由此能夠推導出直線恒過定點C（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），故c=1，
又∵

c

a

=

1

2

，∴a=2，b=

a2-c2

=

3

，
∴所求的橢圓Ω的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵兩切線均過M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即點A，B的坐標都適合方程x+

t

3

y=1，
而兩點之間確定的唯一的一條直線，
∴直線AB的方程是x+

t

3

y=1，
對任意實數t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線恒過定點C（1，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．