Question

（本小題滿分12分）已知各項均為正數的數列中，是數列的前項和，對任意，有 .函數，數列的首項.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令求證：是等比數列并求通項公式；  
（Ⅲ）令，，求數列的前n項和.

Answer 1

解: （Ⅰ）由        ①
得        ②          
由②—①，得  
即：                 ---------2分
由于數列各項均為正數，
                                    
即 數列是首項為，公差為的等差數列，
數列的通項公式是                ----------4分
（Ⅱ）由知，
所以，                               
有，即，---------6分
而，
故是以為首項，公比為2的等比數列。                 
所以                                                    ---------8分
（Ⅲ），                      
所以數列的前n項和 
錯位相減可得                    -----12分

略