Question

例4．已知數列{a_n}中，a₁=3，對于nN，以a_n，a_n+1為系數的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且滿足（α-1）（β-1）=2．
（1）求證數列是等比數列．
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據韋達定理可知α+β=，αβ=，代入（α-1）（β-1）=2中整理得a_n-=-2（a_n+1-），進而可判定數列是等比數列．
（2）由（1）可求得數列的首項和公比，可求得數列的通項公式，進而求得a_n．
解答：解：（1）證明：依題意可知α+β=，αβ=
∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=-+1=2
整理得a_n-=-2（a_n+1-），a₁-=
∴數列是以為首項，-為公比的等比數列．
（2）由（1）知a_n-=×（-）^n-1，
∴a_n=×（-）^n-1+．
點評：本題主要考查了等比數列的性質和等比關系的確定．考查了學生對等比數列的定義和通項公式的理解和把握．