Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的導函數，當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，則不等式f（x）＞0的解集為（ ）
A．{x|x＜-1或x＞1}
B．{x|x＜-1或0＜x＜1}
C．{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜1，且x≠0}

Answer 1

【答案】分析：由已知當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，可判斷函數g（x）=為減函數，由已知f（x）是定義在R上的奇函數，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，根據函數g（x）在（0，+∞）上的單調性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x•g（x）＞0，數形結合解不等式組即可
解答：解：設g（x）=，則g（x）的導數為g′（x）=，
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當x＞0時，函數g（x）=為減函數，
又∵g（-x）====g（x）
∴函數g（x）為定義域上的偶函數
又∵g（1）==0
∴函數g（x）的圖象性質類似如圖：數形結合可得
不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0?或
?0＜x＜1或x＜-1
故選B
點評：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題．