Question

已知P為拋物線y=x²上的動點，定點A（a，0）關于P點的對稱點是Q，
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡與拋物線y=x²交于B、C兩點，當AB⊥AC時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P，Q兩點的坐標，根據定點A（a，0）關于P點的對稱點是Q，寫出中點的坐標公式，用a，x表示x，y，根據這是曲線上的一點，代入曲線的方程，得到要求的點的軌跡．
（2）兩個曲線相交的問題，需要把兩個曲線的方程聯立，得到關于x的方程，根據有兩個交點，得到方程有兩個實根，根據判別式和根與系數的關系，再根據垂直的關系得到結果．
解答：解：（1）設Q（x，y）、P（x，y）
，
∴，
∴
（2）由消去y得x²-2ax-a²=0
又因為兩曲線相交于B、C兩點，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

點評：本題考查圓錐曲線的綜合問題，本題解題的關鍵是先求出滿足條件的軌跡，在利用方程聯立，在聯立方程時注意判斷式與根與系數的關系的作用．