Question

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為平面內的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）判斷原點O關于直線x+y-1=0的對稱點R是否在曲線Γ包圍的范圍內？說明理由．
（注：點在曲線Γ包圍的范圍內是指點在曲線Γ上或點在曲線Γ包圍的封閉圖形的內部）
（Ⅲ）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的定義可知：點P的軌跡是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點，4為長軸長的橢圓． 據此即可求出．
（II）解法一：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），利用點關于直線的對稱點的性質得

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解出即可得到點R的坐標，判定是否滿足在橢圓內部的條件即可；
解法二：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），利用點關于直線的對稱點的性質得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．得出直線OR的方程：y=x．與橢圓的方程聯立求出其交點G，H，判斷點R是否在線段GH上即可；
（Ⅲ）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入

x2

4

+

y2

2

=1并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，滿足△＞0，即可得到根與系數的關系，進而得到點C的坐標，利用斜率計算公式即可判斷直線AB與OC的斜率之積是否定值；
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在橢圓上，所以有：

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，再利用“點差法”即可判斷出結論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知，點P到兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)的距離之和為定值4，
所以點P的軌跡是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的橢圓． 
又a=2，c=

2

，所以b=

2

．
故所求方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解法一：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），由點關于直線的對稱點的性質得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
此時

12

4

+

12

2

=

3

4

＜1，
∴R在曲線Γ包圍的范圍內．
解法二：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關于直線的對稱點的性質得：

n m =1 m 2 + n 2 -1=0

，解得

m=1 n=1

即R（1，1）．
∴直線OR的方程：y=x．
設直線OR交橢圓

x2

4

+

y2

2

=1于G和H，
由

y=x x2 4 + y2 2 =1

得：

x= 2 3 3 y= 2 3 3

或

x=- 2 3 3 y=- 2 3 3

即G(

2 3

3

，

2 3

3

)，H(-

2 3

3

，-

2 3

3

)．
顯然點R在線段GH上．
∴R在曲線Γ包圍的范圍內．
（Ⅲ）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入

x2

4

+

y2

2

=1并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
依題意，△＞0，則x1+x2=-

4kn

1+2k2

，y₁+y₂=k（y₁+y₂）+2n=

2n

1+2k2

，
從而可得點C的坐標為(

4kn

1+2k2

，-

2n

1+2k2

)，kOC=-

1

2k

．
因為kAB•kOC=-

1

2

．
所以直線AB與OC的斜率之積為定值．
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在橢圓上，所以有：

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
兩式相減，整理得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
從而有

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

1

2

．
又x₁+x₂=-x₃，y₁+y₂=-y₃，kOC=

y3

x3

，kAB=

y1-y2

x1-x2

．
因為kAB•kOC=-

1

2

．
所以直線AB與OC的斜率之積為定值．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程得根與系數的關系、向量的運算、斜率的計算公式、點差法、軸對稱等基礎知識與基本方法，考查了多種方法解決同一個問題、推理能力和計算能力．