Question

（08年上虞市質檢一理） 如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M為BC的中點，

     (Ⅰ)  證明：AM⊥PM；          

    （Ⅱ）求二面角P―AM―D的大小；

    （III）求點D到平面AMP的距離.   

 

Answer 1

解析：解法1：（I）取CD的中點E，連結PE、EM、EA

         ∵△PCD為正三角形   ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

         ∵平面PCD⊥平面ABCD  ∴PE⊥平面ABCD 

         ∵四邊形ABCD是矩形   ∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形

         由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3        ∴EM²+AM²=AE²

         ∴∠AME=90°      ∴AM⊥PM

   (Ⅱ）由（I）可知EM⊥AM，PM⊥AM   ∴∠PME是二面角P―AM―D的平面角

         ∴tan∠PME=   ∴∠PMA=45°  ∴二面角P―AM―D為45°

  

解法2：（I）以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D―xyz，

         依題意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M（，2，0），

                                    

               

                                     即，∴AM⊥PM.

   (Ⅱ）設平面PAM，則

                  

        取y=1，得 顯然平面ABCD

        .

        結合圖形可知，二面角P―AM―D為45°；