Question

設數列{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為其前n項和，已知S₃=7且a₁+3、3a₂、a₃+4成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）求a₂+a₅+a₈+…+a_3n-1+…+a_3n+8的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據題意，列出關于{a_n}的首項與公差的方程組，求出首項、公差代入通項公式即得數列{a_n}的通項公式．
（2）將a_2n+1代入b_n，利用等差數列的定義判斷出數列{b_n}是等差數列，利用等差數列的前n項和公式求出T_n．
（3）利用等差數列的性質：間隔相同的項取出的項仍為等差數列，利用等差數列的前n項和公式求出和．

解答：解：（1）

a1+a2+a3=7 a1+3+a3+4=6a2

解得a₂=2
設公比為q則

a2

q

+a2+a2q=7
解得q=2或q=

1

2

（舍去），
所以a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）b_n=ln2²ⁿ=2nln2
∴b_n+1-b_n=2ln2
∴數列{b_n}是公差為2ln2的等差數列
∴Tn=

n(2ln2+2nln2)

2

=n(n+1)ln2
（3）a₂，a₅，a₈…a_3n+8是首項為a₂，公比為8，項數為n+3項的等比數列
∴a₂+a₅+a₈+…+a_3n+8=

2(1-8n+3)

1-8

=

2

7

(8n+3-1)

點評：解決等差數列及等比數列的問題時，一般的方法是利用通項公式及前n項和公式得到關于首項、公差、公比的關系．