Question

定義在R上的函數f（x）不是常數函數，且滿足對任意的x∈R，f（x-1）=f（x+1），f（2-x）=f（x），現得出下列5個結論：
①f（x）是偶函數，
②f（x）的圖象關于x=1對稱，
③f（x）是周期函數，
④f（x）是單調函數，
⑤f（x）有最大值和最小值．
其中正確的命題是

①②③

．

Answer 1

分析：f（x+1）=f（x-1），令x-1=t，則f（t+2）=f（t），所以函數周期為2．由f（2-x）=f（x），知f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），所以f（-x）=f（x），函數為偶函數．由f（-x）=f（2+x），知f（x）的圖象關于x=1對稱．函數時增時減，故f（x）不是單調函數；f（x）沒有最大值和最小值．

解答：解：f（x+1）=f（x-1），令x-1=t，則f（t+2）=f（t），
所以函數周期為2．
∵f（2-x）=f（x），
∴f（-x）=f[2-（2+x）]=f（2+x），
∵函數周期為2，
∴f（x+2）=f（x），
所以f（-x）=f（x），函數為偶函數．
∵f（-x）=f（2+x），
∴f（x）的圖象關于x=1對稱．
∵函數時增時減，∴f（x）不是單調函數；
f（x）沒有最大值和最小值．
故答案為：①②③．

點評：本題考查函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．