Question

 

在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.

（Ⅰ）證明成等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）記，證明.

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小題主要考查等差數列的定義及前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。

（I）證明：由題設可知，，，，，

。

從而，所以，，成等比數列。

（II）解：由題設可得

所以

            

             .

由，得 ，從而.

所以數列的通項公式為或寫為，。

（III）證明：由（II）可知，，

以下分兩種情況進行討論：

（1）   當n為偶數時，設n=2m

若，則，

若，則

     

      .

所以，從而

（2）   當n為奇數時，設。

所以，從而

綜合（1）和（2）可知，對任意有