Question

已知函數f(x)=

x2

x-2

，(x∈R，且x≠2）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=x²-2ax與函數f（x）在x∈[0，1]時有相同的值域，求a的值；
（3）設a≥1，函數h（x）=x³-3a²x+5a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得h（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把f（x）用分離常數法分開，再利用常用函數的單調性來求f（x）的單調區間
（2）先有（1）的結論把f（x）在x∈[0，1]上的值域找到，利用兩函數有相同的值域求a的值
（3）先證h（x）的單調性，再求h（x）的值域，利用h（x）的值域求a

解答：解：（1）f(x)=

x2

x-2

=

[(x-2)+2]2

x-2

=(x-2)+

4

x-2

+4，
易得f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（4，+∞）；單調遞減區間為（0，2），（2，4）．（5分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上單調遞減，
∴其值域為[-1，0]，
即x∈[0，1]，g（x）∈[-1，0]．
∵g（0）=0為最大值，
∴最小值只能為g（1）或g（a），
若g（1）=-1?

a≥1 1-2a=-1

?a=1；
若g（a）=-1?

1 2 ≤a≤1 -a2=-1

?a=1．
綜上得a=1；（10分）
（3）設h（x）的值域為A，由題意知，[-1，0]⊆A．以下先證h（x）的單調性：設0≤x₁＜x₂≤1，
∵h（x₁）-h（x₂）=x₁³-x₂³-3a²（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
（a≥1?3a²≥3，x₁²+x₁x₂+x₂²＜3），
∴h（x）在[0，1]上單調遞減．
∴

hmax=h(0)=5a≥0 hmin=h(1)=1-3a2+5a≤-1

?a≥2，
∴a的取值范圍是[2，+∞）（16分）

點評：本題是對函數的單調區間和含參數的函數值域的綜合考查，對含有參數的函數式，在確定單調性時，要注意分類討論．