Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對任意，存在，使恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞增；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞減；

（2）

【解析】解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401430364067509/SYS201205240145063593311899_DA.files/image006.png">，

所以 ， 

令 ，

（1）當(dāng)a=0時(shí)h(x)=-x+1,

所以 當(dāng)時(shí)，h(x)＞0，此時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

     當(dāng)時(shí)，h(x)＞0，此時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時(shí)，，

即，解得，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減；

    ②當(dāng)，

       時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

       時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；

       時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

      ③當(dāng)時(shí)，由于，

        ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；

        時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞增；

           函數(shù)f(x)在（1,）上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）因?yàn)閍=，由（Ⅰ）知，=1，=3，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以在（0，2）上的最小值為。

由于“對任意，存在，使”等價(jià)于

“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）

又=，，所以

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401430364067509/SYS201205240145063593311899_DA.files/image051.png">，此時(shí)與（*）矛盾

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401430364067509/SYS201205240145063593311899_DA.files/image053.png">，同樣與（*）矛盾

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401430364067509/SYS201205240145063593311899_DA.files/image055.png">，解不等式8-4b，可得

綜上，b的取值范圍是