Question

已知各項均為實數的數列{a_n}是公差為d的等差數列，它的前n項和為S_n，且滿足S₄＝2S₂＋8．

（1）求公差d的值；

（2）若數列{a_n}的首項的平方與其余各項之和不超過10，則這樣的數列至多有多少項；

（3）請直接寫出滿足（2）的項數最多時的一個數列（不需要給出演算步驟）．

Answer 1

（Ⅰ）d＝2；

（Ⅱ）（Ⅱ）至多有4項．

考慮到d＝2，且首項的平方與其余各項之和不超過10，所以可用枚舉法研究．

①當a₁＝0時， 0²＋d＋2d＝0＋2＋4≤10，而0²＋d＋2d＋3d＝0＋2＋4＋6＞10，此時，數列至多3項；

②當a₁＞0時，可得數列至多3項；

③當a₁＜0時，a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d≤10，即a₁²＋3a₁＋2≤0，此時a₁有解．

而a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d＋a₁＋4d≤10，即a₁²＋4a₁＋10≤0，此時a₁無解．

所以a₁＜0時，數列至多有4項．

（Ⅲ）a₁＝－1時，數列為：－1，1，3，5；或a₁＝－2時，數列為：－2，0，2，4．