Question

設函數f(x)=x³+bx²+4cx+d的圖象關于原點對稱，f(x)的圖象在點P(1,m)處的切線的斜率為-6，且當x=2時f(x)有極值.

（1）求a、b、c、d的值；

（2）若x₁、x₂∈［-1,1］，求證：︱f(x₁)-f(x₂)︱≤.

Answer 1

解;（1）∵y=f(x)的圖象關于原點對稱，

∴由f(-x)=-f(x)恒成立有b=d=0.

則f(x)= x³+4cx,f′(x)=ax²+4c,又∵f(1)=-6,f(2)=0,

∴

故a=2,b=0,c=-2,d=0.

（2）∵f(x)=x³-8x,

f′(x)=2x²-8=2(x-2)(x+2),

當x∈［-1,1］時, f(x)≤0,f(x)在\[-1，1]上遞減而x₁∈［-1,1］,

∴f(1)≤f(x₂)≤f(-1),即-≤f(x₁)≤,

∴|f（x₁）|≤,同理可得|f(x₂)|≤.

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤,故|f(x₁)-f(x₂)|≤.