Question

已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在處取得極大值2.（1）求函數(shù)的解析式；

（ 2）記，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖像的直線的下方，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）（1，+∞）.答也正確.

【解析】(1)f(x)是奇函數(shù)，.可得a,b,c的值。進(jìn)而確定y=f(x)的解析式。

(2)先求出y=g(x)的表達(dá)式,然后求導(dǎo)研究單調(diào)區(qū)間即可。若遇參數(shù)可能要涉及討論。

(3)解本題的關(guān)鍵是恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的最大值即可。

解：（1）由（≠0）為奇函數(shù)，

    ∴，代入得，                                    1分

    ∴，且在取得極大值2.

    ∴                                         3分

    解得，，∴                               4分

（2）∵，

       ∴                    5分

       因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），所以

當(dāng)k+1=0時(shí)，即k=-1 時(shí)，       

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減 ；                                 6分

當(dāng)時(shí) ，∵

       ∴

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，令，得>0，∵

>0，得

結(jié)合>0，        得0<<,

令，得<0，∴>,

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。             9分

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。   10分

（3）當(dāng)時(shí)，=，

令

，令0，得（舍去）

       由函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），                                  13分

       則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

       ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值1-。                               15分

       故的取值范圍是（1，+∞）。答也正確                               16分