Question

已知函數是偶函數，a為實常數．
（1）求b的值；
（2）當a=1時，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函數y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由；
（3）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知可得，，且函數的定義域為
D=．
又y=f（x）是偶函數，
故定義域D關于原點對稱．
于是，b=0．
又對任意x∈D，有f（x）=f（﹣x），可得b=0．
因此所求實數b=0．
 （2）由（1）可知，．
由的圖象，知：
f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（﹣∞，0）上是減函數
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在區間[m，n]上是增函數．
∴有 ，即方程，2x²﹣2x+1=0，
∵△=4﹣8＜0，
∴不存在正實數m，n，滿足題意
（3）由（1）可知，．
的圖象，知f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（﹣∞，0）上是減函數
因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號．
①當0＜m＜n時，f（x）在區間[m，n]上是增函數，有，
即方程，2x²﹣2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，
因此，解得．                                                    
②當m＜n＜0時，f（x）在區間[m，n]上是減函數，有，
化簡得（m﹣n）a=0，a=0
綜上，實數a的取值范圍a=0，或a＞