Question

設函數．

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間為；（2）的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為的的取值區間；（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數的取值范圍．方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數的不等式組進行求解．本題將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，是解決問題的關鍵．

試題解析：（1）函數的定義域為， 1分

∵， 2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數的單調遞增區間為． 4分

（2）方法1：∵，

∴． 6分

令，

∵，且，

由．

∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增， 9分

故在區間內恰有兩個相異實根 12分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是． 14分

方法2：∵，

∴． 6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減． 9分

∵，，，

又，

故在區間內恰有兩個相異實根． 12分

即．

綜上所述，的取值范圍是． 14分

考點：函數與方程的綜合運用；利用導數研究函數的單調性．