Question

（2006•重慶一模）已知函數f(x)=|1-

1

x

|．
（I）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f （x）的定義域和值域都是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由；
（II）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）．求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）可假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發探究a，b的可能取值，可分三類：a，b∈（0，1）時，a，b∈（1，+∞）時，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實數，則說明存在，否則說明不存在；
（II）由題意，由函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，結合（I）的結論知只能a，b∈（1，+∞），由函數在此區間內是增函數，建立方程，即可得到實數m所滿足的不等式，解出實數m的取值范圍．

解答：解：（I）不存在實數a，b滿足條件．
假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以應有a＞0
又f（x）=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

（1）當a，b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上為減函數，
故有

f(a)=b f(b)=a

，即

1 a -1=b 1 b -1=a

由此可得a=b，此時實數a，b的值不存在．
（2）當a，b∈（1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上為增函數，
故有

f(a)=a f(b)=b

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b

由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程無實根，所以此時實數a，b也不存在．
（3）當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0∈[a，b]不可能，此時a，b也不存在
綜上可知，適合條件的實數a，b不存在．
（II）若存在實數a，b使函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，適合條件的實數a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞）
∵f(x)=1-

1

x

在∈（1，+∞）上為增函數
∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個不等實根，且二實根均大于1，
∴

△=1-4m＞0 m-1+1＞0 1 2m ＞1

，解之得0＜m＜

1

4

，
故實數m的取值范圍是（0，

1

4

）

點評：本題的考點是函數與方程的綜合應用，考察了絕對值函數，函數的定義域、值域構造方程的思想，二次方程根與系數的關系等，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，本題易因為考慮不完善出錯．